Optimal sensitivity for unequal arm time-delay interferometry
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摘要:
发展了一种新算法，其能够不依赖于时间延迟干涉法基底构型的正交化过程，可直接得到最优灵敏度曲线；分别将其应用到第1代和第2代时间延迟干涉法．结果表明：尽管受不等臂长模型和不同基底选择的影响，但是最优灵敏度曲线仍展现出良好的鲁棒性；基底数量对最优灵敏度曲线有显著影响，当基底数由3增加到5时，灵敏度曲线获得了显著的优化，其中基底数为3时，在0.001$ \sim $0.100 Hz引力波频段内，不同基底的选择对最优灵敏度曲线影响较为显著．
Abstract:A new algorithm can obtain optimal sensitivity curves directly, without relying on time-delay interferometry configuration orthogonalization process． When applied to both first- and second-generation time-delay interferometry, the sensitivity curves remain robust under various arm lengths and baseline configurations． When the base number is increased from 3 to 5, the sensitivity curve is significantly optimized． With only three bases and within the frequency range of 0.001 to 0.100 Hz, the selection of specific bases affects the performance of optimal sensitivity curve．
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0 引言
自从激光干涉引力波天文台首次探测到引力波以来[1]，引力波天文学领域取得了一系列进展，大大推动了多信使、多波段探测领域的发展，以及多种引力波探测器被发明[2−5]．
目前，地基引力波探测器主要针对频率>1.0 Hz 的引力波源，而空间探测器如激光干涉空间天[6−10]、太极[11]及天琴等[12−14]主要关注低频段（$ {10}^{-4} $~1.0 Hz）[15]．地基引力波探测器，如处女座干涉仪和神冈引力波探测器 [16−18] 具有恒定的臂长，能有效消除激光频率噪声[19]．然而，对于空间探测器来说，激光器的不稳定可能会产生激光频率噪声．而相邻卫星之间光学路径的长度是动态的，这导致激光频率噪声不能够直接被叠加数据流有效消除，残余激光频率噪声的量级完全覆盖了引力波信号．故此，时间延迟干涉法（time-delay interferometry, TDI）被视为是解决这个问题的主要方法[20−22]．
目前，TDI研究较多的主要有3代，分别是第1代TDI（TDI 1.0）、第1.5代TDI（TDI 1.5）和第2代TDI（TDI 2.0）．
TDI 1.0假设探测器臂长为固定值[23−24]，并忽略旋转效应，满足臂长不相等但往返臂长相同； TDI 1.5的情况与 TDI 1.0 不同，在考虑了旋转效应的情况下臂长依然是固定的，但往返臂长不相同；TDI 2.0的探测器在实际运动过程中臂长随时间而发生变化 [25−26]．
TDI 1.0 的代数空间可由4个基底完全描述，通过这4个基底的组合可得到其他构型．常见的 TDI 1.0 基底构型是 $ \boldsymbol{\alpha }\mathrm{、}\boldsymbol{\beta }\mathrm{、}\boldsymbol{\gamma }\mathrm{和}\boldsymbol{\zeta } $．
TDI 2.0 代数空间的基底数量更多，然而其基底数量与构型还有待进一步研究[27−29]．
已有数值模拟[30−34]的结果表明，TDI 1.0 X 构型可将激光频率噪声降低8个数量级．在等臂长条件下，TDI 1.0 仅需3个基底构型就可通过频域计算得到最优灵敏度曲线．具体来说，通过对 TDI 1.0的 X、Y、Z 构型进行正交化处理，可以得到 A、E、T 构型[35−38]，进而直接通过代数叠加，这些构型即可得到最优灵敏度曲线．相较于X构型，在较低频率时性能提高了 $ \sqrt{2} $倍，在较高频率时提高了 $ \sqrt{3} $倍．在臂长不等的情况下，正交性被破坏[39]，无法通过正交基底得到最优灵敏度曲线．
1 TDI原理
空间引力波探测器由3颗运行卫星（以下简称“卫星”）组成，与各卫星相对应的激光光学路径$ {L}_{1} $、$ {L}_{2} $、$ {L}_{3} $按照逆时针方向指定$ \text{（} $或按照顺时针$ {L}_{1}'、{L}_2' $、$ {L}_{3}' $的方向指定）．卫星之间的激光链路共计产生6个基本数据流，其中$ {C}_{i} $ 和 $ {C}_{{i}'} $ 分别是卫星对应的臂长在逆时针（顺时针）方向的数据流，$ i $= 1，2，3．
考虑数据流测量中记录光子沿探测器方向传播的多普勒频移部分，则$ {C}_{i} $ 和 $ {C}_{{i}'} $ 具体指数据流中的多普勒频移，其中主要包含噪声和引力波信号（如图1所示）．
本研究仅考虑最简单的情形，即测试质量（test mass, TM）噪声和光学计量系统（optical metering system,OMS）噪声的影响，而忽略其他类型的噪声．
TDI主要包括对每个数据流分别做不同的时间延迟，并将时间延迟后的数据流进行线性组合这2个操作．在每个卫星内部，设有2个光学平台．考虑到每个探测器内部光学平台之间的距离相对于臂长较小，假设同一探测器内部光学平台之间的数据流相等．
TDI中主要涉及不同卫星之间的时间延迟干涉数据流．
$$ {D}_{k}{C}_{i}\left(t\right)={C}_{i}\left(t-\frac{{L}_{k}}{c}\right), $$ (1) 式中 $ c $ 为光速， $ k=1,2,3 $．TDI 1.0 时由于忽略了卫星编队构型的旋转效应，故而$ {D}_{k}={D}_{{k}'} $，TDI 2.0时该等式不再成立．
在TDI领域，不同的研究内容中经常使用不同的符号来表示相同的概念[29，35]．本研究在使用相关符号时，对于未直接给出的，如时间延迟操作算子和数据流符号等，可通过执行轮换操作，如1→2→3→1来推导．对应关系为
$$\begin{aligned} &{D}_{1}={D}_{32}={A}_{1}^{-1}={A}_{32}^{-1},\\ &{D}_{1'}={D}_{23}={A}_{1'}^{-1}={A}_{32}^{-1}．\end{aligned} $$ (2) 通过将所有数据流线性组合起来以消除激光频率噪声，对每条数据流分别进行时间延迟干涉操作．
在空间引力波探测中，通过科学测量获得6条数据流，对其进行时间延迟处理并重新组合后，理想情况下可实现激光频率噪声的近似消除．具体表示为
$$ {I}_{\mathrm{T}\mathrm{D}}=\sum _{i=1}^{3}\left({P}_{i}{C}_{i}+{P}_{{i}'}{C}_{{i}'}\right)，$$ (3) 式中$ {P}_{i} $ 与$ {P}_{{i}'} $ 均为时间延迟操作算子组成的多项式，分别对应于 $ {C}_{i} $ 和 $ {C}_{{i}'} $ 的时间延迟操作．
2 最优灵敏度曲线
空间引力波探测器利用多种TDI构型组合用以探测引力波信号，每个组合对引力波和噪声有独特的响应和灵敏度．这使得其实质上是由多个协同工作探测器组成的阵列，通过在TDI代数空间中优化构型组合，可有效提高信噪比（signal to noise ratio,SNR），从而获得更好的灵敏度曲线[29]．故此，通过计算最大化SNR得到相应的最优灵敏度曲线．
最优灵敏度曲线中主要考虑如下2个条件．
1）噪声之间相互独立．在计算过程中，主要关注TM噪声和OMS噪声．
2）为了表示卫星臂长不等的情况，引入了“呼吸”模式[23，39]，其模型的表达式为
$$ \begin{aligned} &{L}_{1}=L\left.\left(1+\frac{1}{2}\left(\sqrt{3}{\delta }_{\mathrm{c}}-{\delta }_{\mathrm{d}}\right)\right.\right),\\ &{L}_{2}=L\left(1+{\delta }_{\mathrm{d}}\right),\\ &{L}_{3}=L\left(1-\frac{1}{2}\left(\sqrt{3}{\delta }_{\mathrm{c}}+{\delta }_{\mathrm{d}}\right)\right)．\end{aligned}$$ (4) 根据所引入的呼吸模式，卫星编队的变化可以通过参数 $ {\delta }_{\mathrm{c}} $ 和 $ {\delta }_{\mathrm{d}} $ 描述[42]，这2个参数反映了卫星臂长的变化．当 $ {\delta }_{\mathrm{c}} $ >0 时， $ {L}_{2} $ 臂长保持不变，而 $ {L}_{1} $增加， $ {L}_{3} $ 减小，这一变化对应于文献[23]编队构型 的$ \mathrm{b} $ 模式；当 $ {\delta }_{\mathrm{d}} $>0 时， $ {L}_{2} $ 臂长增加， $ {L}_{1} $ 和 $ {L}_{3} $臂长减小，对应于文献[42]编队构型的$ \mathrm{a} $ 模式．这些变化准确地描述了呼吸模式下卫星编队臂长的调整情况．然而式（$ 4 $）中取$ {\delta }_{\mathrm{c}} $=$ {\delta }_{\mathrm{d}} $= 0 时，每个$ {L}_{1} $、$ {L}_{2} $、$ {L}_{3} $将退化为空间引力波探测器等臂长情况 $ {L}_{1} $=$ {L}_{2} $=$ {L}_{3} $=$ L $，同时$ D={D}_{i} $ 和 $ {D}^{2}={D}_{ij} $．本研究引用呼吸模式时，仅考虑具体数值的情况，没有引入呼吸模式参数$ {\delta }_{\mathrm{c}} $ 和$ {\delta }_{\mathrm{d}} $ 随时间变化的情况．
基于上述假设，用$ {h}_{\text{TDI}}\left(f\right) $ 表示经过TDI处理后的数据流，在TDI代数空间中的表示为
$$ {h}_{\text{TDI}}\left(f\right)=\sum _{i}{\lambda }_{i}\left(f,a\right){x}_{i},{x}_{i}={x}_{i}^{s}+{x}_{i}^{n},$$ (5) 式中： $ {x}_{i} $ 是TDI代数空间的基底； $ {\lambda }_{i}\left(f,a\right) $ 是任意复函数，且这些函数依赖于频率 $ f $ 和一组由 $ \alpha $表示的引力波特征参数；上标 $ s $ 和 $ n $ 分别代表TDI代数空间基底的信号和噪声部分．
SNR是评估引力波探测系统性能的关键指标，经过TDI处理之后，可以表示为[40]
$$ {{R}}_{\text{SN}}^{\text{2}}=\int \left({\left(\sum _{i}{\lambda }_{i}\left(f,a\right){x}_{i}^{s}\right)}^{2}\Bigg/{\left(\sum _{i}{\lambda }_{i}\left(f,a\right){x}_{i}^{n}\right)}^{2}\right){\mathrm{d}}f．$$ (6) 在TDI基底空间中，噪声互相关谱密度（cross spectral density, CSD）记为$ {D}_{\mathrm{c}\mathrm{s}} $．根据文献[40]所介绍的一系列代数操作，最优信噪比（optimal signal to noise ratio， OSNR）可以表示为
$$ {{R}}_{\text{OSN}}^{\text{2}}=\int \left({\left({h}_{{\mathrm{TDI}}}\left(f\right)\right)}^{\dagger}{D}_{\mathrm{c}\mathrm{s}}^{-1}\left({h}_{{\mathrm{TDI}}}\left(f\right)\right)\right)\mathrm{d}f= $$ $$ {\left(\int \left({\left({h}_{{\mathrm{TDI}}}\left(f\right)\right)}^{\dagger}{D}_{\mathrm{c}\mathrm{s}}^{-1}\left({h}_{{\mathrm{TDI}}}\left(f\right)\right)\right)\mathrm{d}f\right)}^{\mathrm{T}}= $$ $$ \int \left({\left({h}_{{\mathrm{TDI}}}\left(f\right)\right)}^{\mathrm{T}}{\left({D}_{\mathrm{c}\mathrm{s}}^{-1}\right)}^{\mathrm{T}}{\left({h}_{{\mathrm{TDI}}}\left(f\right)\right)}^{\mathrm{*}}\right)\mathrm{d}f= $$ $$ \int \left(\sum _{u,v}\left({x}_{u}^{\left(s\right)}\right){\left({\left({D}_{\mathrm{c}\mathrm{s}}^{-1}\right)}_{uv}\right)}^{\mathrm{T}}{\left({x}_{v}^{\left(s\right)}\right)}^{\mathrm{*}}\right){\mathrm{d}}f，$$ (7) 式中$ u $ 和 $ v $ 分别表示TDI基底的索引指标．
$ \mathrm{由} $式（$ 7 $）可直接推导出最优灵敏度曲线（记为 $ {\eta }_{\text{opt}} $）的表达式
$$ {\eta }_{\text{opt}}\left(f\right)={\left(\sum _{u,v}\left({x}_{u}^{\left(s\right)}\right){\left({\left({{D}_{cs}}^{-1}\right)}_{uv}\right)}^{\mathrm{T}}{\left({x}_{v}^{\left(s\right)}\right)}^{\mathrm{*}}\right)}^{-1/2}．$$ (8) 已有研究显示[39]，在等臂长条件下，通过TDI 1.0 的 $ X $、$ Y $、$ Z $ 构型可以得到正交构型 $ A $、$ E $、$ T $，并且通过叠加这3种构型获得的SNR，可以得出最大SNR值和相应的最优灵敏度曲线．在不等臂长条件下初步证明了$ A $、$ E $、$ T $ 的正交性被破坏[39]，传统的正交构型得到最优灵敏度曲线的方法不再适用．
为了应对不等臂长条件下正交性破缺的问题，本文发展了一种新的计算方法，直接基于最优SNR计算最优灵敏度曲线，从而避免了传统的正交化步骤．
比较如下2种情况下的最优灵敏度曲线：
1）假定正交性成立，直接通过线性叠加正交构型，并计算得到曲线；
2）省去对构型进行正交化的步骤，使用新发展的计算方法直接得到最优灵敏度曲线．
这种对比表明，不考虑正交性的计算结果更优越；同时也证明了正交性的实际破缺和新方法的有效性，也为不等臂长条件下的灵敏度曲线计算提供了一种更精确、更可靠的工具．
不等臂长条件下计算最优灵敏度曲线，引力波部分的项 $ {x}_{u}^{s} $表示为[43]
$$ {x}_{u}^{s}={\left(\sum _{i=1}^{3}{P}_{i}\times {C}_{i}^{s}\left(f\right)+{P}_{{i}'}\times {C}_{{i}'}^{s}\left(f\right)\right)}_{u}, $$ $$ {C}_{i,{i}'}^{s}\left(f\right)=h\left(\varOmega \right){\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\varOmega \left(L+\boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{r}\right)}\left(1-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\varOmega L\left(1-\boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{n}\right)}\right)/\left(2-2\boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{n}\right)= $$ $$ {h}_{i}^{s\left(+\right)}\left(f\right){F}_{i}^{s\left(+\right)}\left(f\right)+{h}_{i}^{s\left(\times \right)}\left(f\right){F}_{i}^{s\left(\times \right)}\left(f\right)，$$ (9) 式中：$ L $ 是干涉仪臂的长度；$ c $ 是真空中的光速；$ \varOmega $ 为在该探测器指标下的观测频率，且$ \varOmega =\dfrac{2{\text{π}}f}{c} $；$ \boldsymbol{r} $为探测器激光的位置矢量； j为虚数单位；$ \boldsymbol{k} $ 为归一化的引力波矢量．在探测器参考框架中，根据文献[39]中的有关描述， $ \boldsymbol{k}= $ $ \left(\mathrm{cos}\;\theta\; \mathrm{sin}\;\phi ,\mathrm{sin}\;\theta \;\mathrm{sin}\;\phi ,\mathrm{cos}\;\phi \right)\cdot \left({\boldsymbol{e}}_{\boldsymbol{x}},{\boldsymbol{e}}_{\boldsymbol{y}},{\boldsymbol{e}}_{\boldsymbol{z}}\right) $；$ \boldsymbol{n} $为指向干涉仪臂方向的单位矢量，特别地，$ {\boldsymbol{n}}_{\boldsymbol{i}}= \left(\left({\boldsymbol{C}}_{\mathrm{S}j}-{\boldsymbol{C}}_{\mathrm{S}i}\right){\left|{\boldsymbol{C}}_{\mathrm{S}j}-{\boldsymbol{C}}_{\mathrm{S}i}\right|}\right) $，表示从卫星$ {C}_{\mathrm{S}i} $ 指向卫星 $ {C}_{\mathrm{S}j} $的单位矢量；$ {C}_{i}\left(f\right) $ 和 $ {C}_{{i}'}\left(f\right) $ 表示数据流的相对多普勒频移．其中： $ {C}_{i}\left(f\right) $ 表示沿逆时针方向从卫星$ {C}_{\mathrm{S}i} $ 发射到卫星 $ {C}_{\mathrm{S}，i-1} $ 的激光分别在接收与发射时的频率差异；而 $ {C}_{{i}'}\left(f\right) $ 表示沿顺时针方向从一个卫星 $ {C}_{\mathrm{S}，i-1} $发射到另一个卫星 $ {C}_{\mathrm{S}，i＋1} $ 的激光分别在接收与发射时的频率差异，包含了单色引力波源的振幅 $ {h}_{i}^{s\left(+,\times \right)} $ 和探测器单臂响应函数 $ {F}_{i}^{s\left(+,\times \right)}\left(f\right) $，其中$ \left(+，\times \right) $ 表示引力波的偏振．
$ {F}_{i}^{s\left(+,\times \right)}\left(f\right) $ 与沿逆时针方向的臂 $ {L}_{i-1} $ 相联系，即从卫星$ {C}_{\mathrm{S}i} $ 发射到卫星$ {C}_{\mathrm{S}，i-1} $的激光对应的臂．相应地，$ {F}_{{i}'}^{s\left(+,\times \right)}\left(f\right) $ 与沿顺时针方向的臂 $ {L}_{i+1} $ 相联系，即从卫星 $ {C}_{\mathrm{S}i} $ 发射到卫星 $ {C}_{\mathrm{S}{\left(i+1\right)}'} $ 的激光对应的臂．具体分别可表示为
$$\begin{aligned} &{F}_{i}^{s\left(+,\times \right)}\left(f\right)={\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\left(2{\text{π}}f\right){L}_{\left(i-1\right)}\left(1+\boldsymbol{k}\cdot {\boldsymbol{n}}_{\left(i-1\right)}\right)/c}/\left(2+2\boldsymbol{k}\cdot {\boldsymbol{n}}_{\left(i-1\right)}\right)\cdot \\ &\left(1-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{j}\left(2{\text{π}}f\right){L}_{\left(i-1\right)}\left(1+\boldsymbol{k}\cdot {\boldsymbol{n}}_{\left(i-1\right)}\right)/c}\right){\varepsilon }_{\left(i-1\right)}^{\left(+,\times \right)}, \\ &{F}_{{i}'}^{s\left(+,\times \right)}\left(f\right)={\mathrm{e}}^{\mathrm{j}\left(2{\text{π}}f\right){L}_{\left(i+1\right)}\left(1-\boldsymbol{k}\cdot {\boldsymbol{n}}_{\left(i+1\right)}\right)/c}/\left(2-2\boldsymbol{k}\cdot {\boldsymbol{n}}_{\left(i+1\right)}\right)\cdot\\ &\left(1-{\mathrm{e}}^{-{\mathrm{j}}\left(2{\text{π}}f\right){L}_{\left(i+1\right)}\left(1-\boldsymbol{k}\cdot {\boldsymbol{n}}_{\left(i+1\right)}\right)/c}\right){\varepsilon }_{\left(i+1\right)}^{\left(+,\times \right)}．\end{aligned}$$ (10) 引入$ \text{单位矢量}\boldsymbol{g} $和 $ \boldsymbol{h} $，建立坐标系$ \left(\boldsymbol{k},\boldsymbol{g},\boldsymbol{h}\right) $，则偏振张量 $ {\boldsymbol{\varepsilon }}^{\left(+,\times \right)} $ 可以通过公式
$$ \begin{aligned} &g\left(\boldsymbol{k}\right)=\frac{\left(\boldsymbol{k}\times {\boldsymbol{e}}_{\boldsymbol{z}}\right)}{\left|\boldsymbol{k}\times {\boldsymbol{e}}_{\boldsymbol{z}}\right|}，\\ &h\left(\boldsymbol{k}\right)=\boldsymbol{k}\times \boldsymbol{g}，\\ &{\varepsilon }^+\left(\boldsymbol{k}\right)={\left(\boldsymbol{g}\cdot \boldsymbol{n}\right)}^{2}-{\left({\boldsymbol{h}}\cdot \boldsymbol{n}\right)}^{2}， \\ &\varepsilon^{\times}\left(\boldsymbol{k}\right)=2\left(\boldsymbol{g}\cdot\boldsymbol{n}\right)\left(\boldsymbol{h}\cdot\boldsymbol{n}\right) \end{aligned}$$ (11) 引入．将式（$ 9 $）代入式（$ 7 $）中做展开计算，并利用$ u $ 和 $ v $，构成 $ u\times v $ 形式的TDI相关矩阵，需要对所有的 $ u\times v $ 矩阵元进行求和．每个矩阵元代表构型 $ u $ 所产生的 $ {x}_{u}^{s} $，并乘以$ {D}_{\mathrm{c}\mathrm{s}}^{-1} $，再乘以构型 $ v $ 产生的 $ {x}_{v}^{s} $．其中值得说明的是，每个矩阵元的计算涉及 $ i $ 取值从 1 到 3， $ {x}_{u,v}^{s} $ 包括 $ {P}_{i,{i}'} $ 和 $ {C}_{i,{i}'}^{s} $，时间延迟干涉多项式算符 $ {P}_{i,{i}'} $ 和数据流 $ {C}_{i,{i}'}^{s} $ 各有6项，分别进行相乘后再求和．
式（$ 9 $）代入式（$ 7 $）进一步说明如下：首先将式（$ 9 $）代入$ {x}_{u}^{s}\times \left({D}_{cs}^{-1}\right)\times {x}_{v}^{s} $后，形成 $ 6\times 6 $ 的矩阵，总共有 36 项．其次将 $ {x}_{u}^{s}\times \left({D}_{\mathrm{c}\mathrm{s}}^{-1}\right)\times {x}_{v}^{s} $ 的乘积完全展开后，总共产生（$ u\times v\times 36 $）项；通过合并 $ {\left({P}_{i}\right)}_{u}\times \left({D}_{\mathrm{c}\mathrm{s}}^{-1}\right)\times {\left(P{i}^{*}\right)}_{v} $乘积中的同类项，同时，数据流 $ {C}_{i,{i}'}^{s} $ 随时间延迟算符同时进行代入计算，形成 $ {f}_{i} $ 部分．最后，经过化简得到了最优灵敏度曲线的具体表达式为
$$\begin{split} {\eta }_{\text{opt}}\left(f\right)=\;&\left(\frac{2}{4}{d}_{1}\times {f}_{1}\left(x\right)+{d}_{2}\times {f}_{2}\left(x\right)+\frac{3}{4}{d}_{3}\times {f}_{3}\left(x\right)-\right.\\ &\left.\frac{3}{4}{d}_{4}\times {f}_{4}\left(x\right)+\frac{1}{4}{d}_{5}\times {f}_{5}\left(x\right)\right)^{{-1}\text{/2}}，\end{split}$$ (12) 式中：$ {d}_{i} $ 为TDI的效应； $ {f}_{i} $ 为探测器参考框架和引力波参考框架的效应．
这一方法能够清晰地展示不同TDI构型基底选择之间的差异，并且避免了对TDI代数空间进行正交化操作的需求．$ {d}_{i} $ 的具体形式由下式给出：
$$ {\left({d}_{1}\right)}_{uv}=\sum _{i=1}^{6}{P}_{i,u}{\left({\left({D}_{\mathrm{c}\mathrm{s}}^{-1}\right)}_{uv}\right)}^{\mathrm{T}}{P}_{i,v}^{\mathrm{*}}+{P}_{{i}',u}{\left({\left({D}_{\mathrm{c}\mathrm{s}}^{-1}\right)}_{uv}\right)}^{\mathrm{T}}{P}_{{i}',v}^{\mathrm{*}},\quad\quad\quad\quad\quad $$ $$ {\left({d}_{2}\right)}_{uv}=2\sum _{i=1}^{3}\text{Re}\left({P}_{i,u}{\left({\left({D}_{\mathrm{c}\mathrm{s}}^{-1}\right)}_{uv}\right)}^{\mathrm{T}}{P}_{{\left(i+1\right)}',v}^{\mathrm{*}}\right), \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad $$ $${\left({d}_{3}\right)}_{uv}=2\sum _{i=1}^{3}\text{Re}\left({P}_{i,u}{\left({\left({D}_{{\mathrm{cs}}}^{-1}\right)}_{uv}\right)}^{\mathrm{T}}{P}_{i+1,v}^{\mathrm{*}}+{P}_{{i}',u}{\left({\left({D}_{{\mathrm{cs}}}^{-1}\right)}_{uv}\right)}^{\mathrm{T}}{P}_{{\left(i-1\right)}',v}^{\mathrm{*}}\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{j}x}, $$ $$ {\left({d}_{4}\right)}_{uv}=2\sum _{i=1}^{3}\text{Im}\left({P}_{i,u}{\left({\left({D}_{\mathrm{c}\mathrm{s}}^{-1}\right)}_{uv}\right)}^{\mathrm{T}}{P}_{i+1,v}^{\mathrm{*}}+{P}_{{i}',u}{\left({\left({D}_{\mathrm{c}\mathrm{s}}^{-1}\right)}_{uv}\right)}^{\mathrm{T}}{P}_{{\left(i-1\right)}',v}^{\mathrm{*}}\right){\mathrm{e}}^{\mathrm{j}x}, $$ $$ \left(d_5\right)_{uv}=2\sum_{i=1}^3\text{Re}\left(P_{i,u}\left(\left(D_{\mathrm{c}\mathrm{s}}^{-1}\right)_{uv}\right)^{\mathrm{T}}P_{i',v}^{\mathrm{*}}+P_{i,u}\left(\left(D_{\mathrm{c}\mathrm{s}}^{-1}\right)_{uv}\right)^{\mathrm{T}}P_{\left(i-1\right)',v}^{\mathrm{*}}\right)．$$ (13) 假设引力波是各向同性偏振且具有球形分布，通过对$ \theta $和 $ \varphi $ 进行空间积分，得到了最优SNR的表达式．其中重点关注不等臂长对TDI的影响，忽略不等臂长从探测器参考系转换到引力波源参考系过程中的影响，即针对 $ {f}_{i} $ 的空间积分是在假设臂长相等的情况下计算的．这种方法在之前关于 $ {f}_{i}，i= 1,\cdots , 5 $的研究中已被采用[43]， $ \mathrm{其}\mathrm{中}x $=$ \left(2{\text{π}}fL\right)/c $，正弦积分$ \text{Si}\left(x\right)\text{=}{\displaystyle\int }_{0}^{x}\dfrac{\mathrm{sin}\;t}{t}\mathrm{d}t $，余弦积分$ \mathrm{Ci}\left(x\right)=-{\displaystyle\int }_{t}^{\infty }\dfrac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left(xt\right)}{t}\mathrm{d}t $．具体形式如下：
$$ {f}_{1}\left(x\right)=\frac{4}{3}-\frac{2}{{x}^{2}}+\mathrm{sin}\;\frac{2x}{{x}^{3}}, \quad \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\;\;\; $$ $$ {f}_{2}\left(x\right)=\frac{\left(-x\mathrm{cos}\;x+\mathrm{sin}\;x\right)}{{x}^{3}}-\frac{\mathrm{cos}\;x}{3}, \quad\quad\quad\quad\quad\quad \;$$ $$ {f}_{3}\left(x\right)={\mathrm{l}\mathrm{g}}\;\frac{4}{3}-\frac{5}{18}+\frac{\left(-5\mathrm{sin}\;x+8\mathrm{sin}\left(2x\right)-3\mathrm{sin}\left(3x\right)\right)}{8x}- $$ $$ \begin{gathered}\frac{\left(4+9\mathrm{cos}\;x+12\mathrm{cos}\left(2x\right)+\mathrm{cos}\left(3x\right)\right)}{24{x}^{2}}+\\ \frac{\left(-5\mathrm{sin}\;x+8\mathrm{sin}\left(2x\right)+5\mathrm{sin}\left(3x\right)\right)}{24{x}^{3}}+\mathrm{Ci}\left(3x\right)-2\mathrm{Ci}\left(2x\right)+\mathrm{Ci}\left(x\right),\end{gathered} $$ $$ \begin{split} &{f}_{4}\left(x\right)=\left(-5\mathrm{cos}\;x+8\mathrm{cos}\left(2x\right)-3\mathrm{cos}\left(3x\right)/8x\right)+\\ &\left(9\mathrm{sin}\;x+12\mathrm{sin}\left(2x\right)+\mathrm{sin}\left(3x\right)\right)/24{x}^{2}－\left(8+5\mathrm{cos}\;x\right)/24{x}^{3}+\\ &\left(8\mathrm{cos}\left(2x\right)+5\mathrm{cos}\left(3x\right)\right)/24{x}^{3}-\text{Si}\left(3x\right)-\text{Si}\left(x\right)+2\text{Si}\left(2x\right),\end{split} $$ $$\begin{split} {f}_{5}\left(x\right)=&-\mathrm{lg}\;4+\frac{7}{6}+\frac{\left(11\mathrm{sin}\;x-4\mathrm{sin}\left(2x\right)\right)}{4x}-\\ &\frac{\left(10+5\mathrm{cos}\;x-2\mathrm{cos}\left(2x\right)\right)}{4{x}^{2}}+\\ &\left(5\mathrm{sin}\;x+4\mathrm{sin}\left(2x\right)\right)/4{x}^{3}+2\left(\text{cos}\left(2x\right)-\text{cos}\;x\right)．\quad\end{split} $$ (14) 3 TDI构型正交性破缺的证明
主要相关系数 $ {P}_{i} $ 和 $ {P}_{{i}'} $ 在文献[36]和[43] 有所介绍，具体如下．
$$ \text{TDI}\;\text{1.0}X ：\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\;\; $$ $$ {P}_{1}=\left({D}_{{2}{}'2}-1\right),{P}_{2}=0,{P}_{3}=\left({D}_{2}'-{D}_{{33}{}'{2}{}'}\right), $$ $$ {P}_{{1}'}=\left(1-{D}_{{33}'}\right), $$ $$ {P}_{2'}=\left({D}_{2'23}-{D}_{3}\right), $$ $$ {P}_{{3}'}=0．$$ $$ \text{TDI}\;\text{2.0}{C}_{4}^{16} ：\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad $$ $$ {P}_{1}=\left({D}_{2'2}-1\right)\left({D}_{2}^{2}-{D}_{3}^{2}\right),{P}_{2}=0, $$ $$ {P}_{3}=\left({D}_{2'}-{D}_{{33}'2'}\right)\left({D}_{2}^{2}-{D}_{3}^{2}\right),{P}_{{3}'}=0, $$ $$ {P}_{{1}'}=\left(1-{D}_{{33}'}\right)\left({D}_{2}^{2}-{D}_{3}^{2}\right), $$ $$ {P}_{2'}=\left({D}_{2'23}-{D}_{3}\right)\left({D}_{2}^{2}-{D}_{3}^{2}\right)．$$ $$ \text{TDI}\;\text{2.0}{C}_{1}^{12}：\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad $$ $$ {P}_{1}=-\left({D}_{13}-{D}_{12}{D}_{23}{D}_{31}{D}_{13}\right), $$ $$ {P}_{2}=-\left(1-{D}_{12}{D}_{23}{D}_{31}\right), $$ $$ {P}_{3}=-\left({D}_{13}{D}_{32}-{D}_{12}{D}_{23}{D}_{31}{D}_{13}{D}_{32}\right), $$ $$ {P}_{{1}'}=\left({D}_{12}-{D}_{13}{D}_{32}{D}_{21}{D}_{12}\right), $$ $$ {P}_{2'}=\left({D}_{12}{D}_{23}-{D}_{13}{D}_{32}{D}_{21}{D}_{12}{D}_{23}\right), $$ $$ {P}_{{3}'}=\left(1-{D}_{13}{D}_{32}{D}_{21}\right)．$$ $$ \text{TDI}\;\text{2.0}{C}_{2}^{12} ：\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad $$ $$ {P}_{1}=-\left({A}_{23}-{A}_{23}{A}_{31}{D}_{12}{D}_{23}\right), $$ $$ {P}_{2}=-\left({A}_{23}{A}_{31}-{D}_{21}{A}_{13}{A}_{31}\right), $$ $$ {P}_{3}=-\left(1-{A}_{23}{A}_{31}{D}_{12}{D}_{23}{D}_{32}\right), $$ $$ {P}_{{1}'}=\left({A}_{23}{A}_{31}{D}_{12}-{D}_{21}{A}_{13}{A}_{31}{D}_{12}\right), $$ $$ {P}_{2'}=\left({D}_{21}{A}_{13}-{D}_{21}{A}_{13}{A}_{31}{D}_{12}{D}_{23}\right), $$ $$ P_{3'}=\left(A_{23}A_{31}-D_{21}A_{13}A_{31}\right)．$$ 可以通过旋转（$ 1\to 2\to 3\to 1 $）操作获得每种构型的其他循环对称构型．如果在频域考虑TDI，对式（1）经过傅里叶变换得到时间延迟干涉算子的表达式 $ {D}_{k}=2{\text{π}}f{L}_{k}/c $．同时，将 $ {D}_{k}={D}_{{k}'} $ 代入以上各式，以此体现旋转效应忽略．换言之，在 $ {D}_{k}={D}_{{k}'} $ 中，$ {D}_{k} $ 与 $ {D}_{{k}'} $ 的关系体现了对旋转效应的考虑．当二者相等时，表明模型不考虑旋转效应；当二者不相等时，则表明考虑旋转效应．这种差异也正是 TDI 1.0 和 TDI 2.0 之间的主要区别之一，反映了2代方法对卫星相对运动考虑的不同程度．
在简化模型中，主要考虑了TM噪声和OMS噪声[6]．这2种主要噪声分别由 $ {N}_{i}^{\mathrm{T}\mathrm{M}} $ 和 $ {N}_{i}^{\mathrm{O}\mathrm{M}\mathrm{S}} $ 表示．
综上所述，CSD的计算过程可以具体按如下展开．
$$\begin{split} & {{I}}_{u}={\left({C}_{i}\right)}_{u}+{\left({C}_{{i}'}\right)}_{u} \text{，}\\ &\left(C_i\right)_{{u}}=\left(P_i\right)_u\left(C_i\right)= \\ &\quad\quad{\left({P}_{i}\right)}_{u}\left({\boldsymbol{n}}_{{i}-1}\left({n}_{{i}-1}{D}_{{i}-1}{N}_{{\left(i+1\right)}'}^{\text{TM}}-{N}_{i}^{\text{TM}}\right){N}_{{\left(i+1\right)}'}^{\text{TM}}+{N}_{i}^{\text{OMS}}\right),\\ & {\left({C}_{{i}'}\right)}_{{u}}={\left({P}_{{i}'}\right)}_{u}\left({C}_{{i}'}\right)=\\ &\quad\quad \left(P_{i'}\right)_u\left(\boldsymbol{n}_{i+1}\cdot\left(N_{i'}^{\text{TM}}\left(t\right)-D_{\left(i+1\right)'}N_{\left(i-1\right)'}^{\text{TM}}\right)+N_{i'}^{\text{OMS}}\right)， \end{split}$$ 式中$ \text{：}{N}_{i}^{\mathrm{T}\mathrm{M}} $表示TDI作用之前TM噪声波动；$ {N}_{i}^{\mathrm{O}\mathrm{M}\mathrm{S}} $表示TDI作用之前OMS噪声波动； $ {{I}}_{u} $表示经过TDI处理之后的总的残余噪声；$ {u} $表示TDI构型指标．
$ {\left({D}_{\mathrm{c}\mathrm{s}}\right)}_{uv} $展示了不同构型之间的相关性，臂长$ L_k= 3.0\times {10}^{6} $ km；且有
$$\begin{split} &{\left({D}_{\mathrm{c}\mathrm{s}}\right)}_{uv}=\langle {{I}}_{u}，{{I}}_{v}\rangle =\\ &{\left(\sum _{i=1}^{3}{q}_{1}\cdot {\left({M}_{\text{PSD}}\right)}_{i,{i}'}+\sum _{i=1}^{3}{q}_{2}\cdot {\left({S}_{\text{PSD}}\right)}_{i,{i}'}\right)}_{uv}，\end{split} $$ (15) $ {q}_{1} $ 与 $ {q}_{2} $ 分别为
$$ \begin{split} & \left(q_1\right)_{uv}=\left(\left(P_i\right)_u\left(P_i^{\mathrm{*}}\right)_v+\left(P_{i'}\right)_u\left(P_{i'}^{\mathrm{*}}\right)_v\right), \\ & \left(q_2\right)_{uv}=\left(P_i+P_{\left(i+1\right)}D_{\left(i-1\right)'}\right)_u\left(P_i+P_{\left(i+1\right)}D_{\left(i-1\right)'}\right)_v^{\mathrm{*}}+ \\ & \quad\quad\quad\left(\left(P_{\left(i+1\right)}+P_iD_{\left(i+1\right)'}\right)_u\left(P_{\left(i+1\right)}+P_iD_{\left(i+1\right)'}\right)_v^{\mathrm{*}}\right), \\ & \left(M_{\text{PSD}}\right)_{i,i'}=m_{i,i'}^2\left(1+\left(0.002/f\right)^4\right)\left(2\text{π}f/c\right)^2, \\ & \left(S_{\text{PSD}}\right)_{i,i'}=n_{i,i'}^2\left(1+\left(0.000\;4/f\right)^2\right)\left(1+\left(f/0.008\right)^4\right)\cdot \\ & \quad\quad\quad\quad\left(1/\left(2\text{π}fc\right)\right)^2,\end{split} $$ 式中：$ {M}_{\text{PSD}} $ 表示TM噪声的相对功率谱密度（power spectral density,PSD）；$ m^2_{i,i'} $ 表示TM噪声的幅值参数；$ {S}_{\text{PSD}} $表示OMS噪声的PSD；$ n^2_{i,i'} $ 表示OMS噪声相关的幅值参数．如果假设臂长相等，其数值分别可简化为 $ m=3.0\times {10}^{-15}\;{\text{m}\cdot\text{s}}^{-2}\cdot{\text{Hz}}^{-1/2} $ 和 $ n=8\times {10}^{-12}\;\text{m}\cdot{\text{Hz}}^{－1/2} $；而在不等臂长的假设下，每个臂噪声以 20% 的标准偏差考虑噪声幅值[39]．
给出构型正交性破缺的详细证明．
标准正交化过程，计算不同TDI构型之间的矩阵$ \left({\boldsymbol{D}}_{\mathrm{c}\mathrm{s}}\right) $具体为
$$ \left(\begin{array}{ccc} {\left({\boldsymbol{D}}_{\mathrm{c}\mathrm{s}}\right)}_{11}&{\left({\boldsymbol{D}}_{\mathrm{c}\mathrm{s}}\right)}_{12}& {\left({\boldsymbol{D}}_{\mathrm{c}\mathrm{s}}\right)}_{13}\\ {\left({\boldsymbol{D}}_{\mathrm{c}\mathrm{s}}\right)}_{21}&{\left({\boldsymbol{D}}_{\mathrm{c}\mathrm{s}}\right)}_{22}& {\left({\boldsymbol{D}}_{\mathrm{c}\mathrm{s}}\right)}_{23}\\ {\left({\boldsymbol{D}}_{\mathrm{c}\mathrm{s}}\right)}_{31}&{\left({\boldsymbol{D}}_{\mathrm{c}\mathrm{s}}\right)}_{32}& {\left({\boldsymbol{D}}_{\mathrm{c}\mathrm{s}}\right)}_{33}\end{array}\right)．$$ (16) 在假设臂长相等的情况下使用式（$ 15 $），考虑TDI 1.0代数空间基底数量有3个．由于构型之间存在对称性，因此，可知矩阵存在如下关系：
$$ {\left({\boldsymbol{D}}_{\mathrm{c}\mathrm{s}}\right)}_{12}={\left({\boldsymbol{D}}_{\mathrm{c}\mathrm{s}}\right)}_{13}={\left({\boldsymbol{D}}_{\mathrm{c}\mathrm{s}}\right)}_{23}， $$ $$ {\left({\boldsymbol{D}}_{\mathrm{c}\mathrm{s}}\right)}_{11}={\left({\boldsymbol{D}}_{\mathrm{c}\mathrm{s}}\right)}_{22}={\left({\boldsymbol{D}}_{\mathrm{c}\mathrm{s}}\right)}_{33}．$$ (17) 可直接得到式（$ 16 $）的本征矢量$ \boldsymbol{a}\text{、}\boldsymbol{b}\text{、}\boldsymbol{c} $，分别为
$$ \left\{\begin{aligned}&{\boldsymbol{a}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(-{1,0,1}\right)\text{，}\\ &{\boldsymbol{b}}=\frac{1}{\sqrt{6}}\left({1,}-{2,1}\right)\text{，}\\ &{\boldsymbol{c}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\left({1,1,1}\right)．\end{aligned}\right.$$ (18) 对于TDI构型正交性破缺的说明，提供了如下2条有力的证据．
1）根据已有研究，$ A $、$ E $、$ T $构型是通过 TDI 1.0构型 $ X\mathrm{、}Y\mathrm{、}Z $的正交化得到的，其中 $ A $、$ E $或 $ E $、$ T $之间的CSD不为零[39]．这一结果证明了正交性的破缺．如果考虑其他循环对称构型所产生的正交化构型时，也可得到类似发现．
选择 TDI 1.0的 $ X\mathrm{、}Y\mathrm{、}Z $作为基底， 得到相应TDI 1.0 的正交构型 $ A $、$ E $、$ T $，分别为
$$ \left\{\begin{aligned} &A=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(Z-X\right),\\ &E=\frac{1}{\sqrt{6}}\left(Z+X-2Y\right), \\ &T=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(X+Y+Z\right)．\end{aligned}\right. $$ (19) 考虑到呼吸模式和噪声参数的扰动效应，等臂长假设不再成立，因此式（17）不再成立．如果不考虑这个变化，而是依然遵循式（16）的正交化过程，最终由式（16）所得到的特征向量是频率依赖的，而且每个频率点所确定的正交构型的具体形式会随着频率的变化而发生改变．另外在不等臂长情况下，引入的2种噪声的扰动也对$ A $、$ E $、$ T $构型之间的正交性产生了显著的影响．
2）结合最优灵敏度曲线计算，对比其相对于 TDI 1.0$ X $构型的优化效率．
第1个事例．在不等臂长情况下，采用对比方法探讨 TDI 1.0的$ X\mathrm{、}Y\mathrm{、}Z $及其正交构型 $ A $、$ E $、$ T $．图2展示了不同构型的灵敏度曲线．
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图 2 TDI主要构型的灵敏度曲线对比（$ {\boldsymbol{\delta }}_{\mathbf{c}}={\boldsymbol{\delta }}_{\mathbf{d}}=0.01 $）研究结果表明，对于频段$ {10}^{-4}\sim{10}^{-3}\;\mathrm{H}\mathrm{z}，T $ 构型与 $ X $ 构型的灵敏度曲线近似，但是对于频段$ {10}^{-3}\sim {10}^{-1} $ Hz却具有显著差异．相较数值模拟获得的 $ \boldsymbol{T} $ 构型灵敏度曲线 [21，44]，使用新方法计算得到了类似的结果，此结果从另外一个角度也可说明本研究的结论具有可信度．
图3将最优灵敏度曲线与 TDI 1.0$ X $ 进行了比较．
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图 3 最优灵敏度曲线 $ {\boldsymbol{\eta }}_{\text{opt}} $ 相对于 TDI 1.0$ \boldsymbol{X} $的优化效率示意由图2和图3的结果可知，通过直接叠加 $ A $、$ E $、$ T $ 构型，灵敏度曲线在< $ {10}^{-3} $ Hz 的低频处有提升，实际上通过新算法得到的提升结果约为$ \sqrt{2} $倍．故此，在对比2个结果后发现，假设正交最优灵敏度曲线得到的结果是存在问题的，即 $ A $、$ E $、$ T $ 构型之间的正交性事实上破缺了．
第2个事例，验证过程与第1个事例类似．
TDI 2.0 构型能够处理由卫星漂移引起的残余激光频率噪声．如果忽略旋转条件， TDI 2.0 构型可以表示为其对应的 TDI 1.0构型乘以一个延迟算子的多项式，或者可以分解为TDI 1.0主要构型的线性组合[41]．
选择一个特殊的 TDI 2.0构型 $ {{C}}_{4}^{16} $，记为 $ {\left({{C}}_{4}^{16}\right)}_{1} $[41]，以及其循环对称构型 $ {\left({{C}}_{4}^{16}\right)}_{2} $ 和 $ {\left({{C}}_{4}^{16}\right)}_{3} $．式（$ 15 $）表示了$ {C}_{4}^{16} $ 的参数情况，可分解为 TDI 1.0 构型的线性组合．这里需要明确的是，本研究对于 $ {{C}}_{4}^{16} $ 的计算考虑到了旋转效应，满足$ {D}_{i}\ne {D}_{{i}'} $ ；而在本章中，对$ {{C}}_{4}^{16} $的计算则忽略了旋转效应，即满足条件 $ {D}_{i}={D}_{{i}'} $ ，且详细说明了对 $ {{C}}_{4}^{16} $采取这种处理方式的原因，确保理解不同部分计算方法的差异及其对结果的影响．
首先，假设正交性依然存在．由于这些构型之间固有的对称性，如式（$ 16 $）所示，便可直接得到类似正交集合 $ {\left({{C}}_{4}^{16}\right)}_{a} $、 $ {\left({{C}}_{4}^{16}\right)}_{b} $ 和 $ {\left({{C}}_{4}^{16}\right)}_{c} $分别为
$$\left\{\begin{split} &{\left({C}_{4}^{16}\right)}_{a}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left({\left({C}_{4}^{16}\right)}_{3}-{\left({C}_{4}^{16}\right)}_{1}\right), \\ &{\left({C}_{4}^{16}\right)}_{b}=\frac{1}{\sqrt{6}}\left({\left({C}_{4}^{16}\right)}_{3}+{\left({C}_{4}^{16}\right)}_{1}-2{\left({C}_{4}^{16}\right)}_{2}\right), \\ &{\left({C}_{4}^{16}\right)}_{c}=\frac{1}{\sqrt{3}}\left({\left({C}_{4}^{16}\right)}_{3}+{\left({C}_{4}^{16}\right)}_{2}+{\left({C}_{4}^{16}\right)}_{1}\right)．\end{split}\right. $$ (20) 通过展示不同构型之间的相关性比值曲线证明，直接使用基于正交性方法得到的构型，其正交构型之间的正交性已经破缺．此方法旨在直观地反映理论上认为正交的构型在不等臂长条件下可能不再保持正交．
定义相关函数$ l=\left|{\left({D}_{\mathrm{c}\mathrm{s}}\right)}_{uv}\right|/\sqrt{{\left({D}_{\mathrm{c}\mathrm{s}}\right)}_{uu}{\left({D}_{\mathrm{c}\mathrm{s}}\right)}_{vv}} $，$ l $为量纲一的量．
图4中展示了仅考虑呼吸模式影响时，$ {\left({{C}}_{4}^{16}\right)}_{a} $、$ {\left({{C}}_{4}^{16}\right)}_{b} $ 和 $ {\left({{C}}_{4}^{16}\right)}_{c} $ 之间的正交关系已经被破坏．
在证明正交性破缺的过程中，借助不同构型之间的相关性曲线作为直观的证明工具．具体而言，只考虑呼吸模式作为不等臂长条件的影响时，图4清楚地揭示了 $ {\left({{C}}_{4}^{16}\right)}_{a}\mathrm{、} $ $ {\left({{C}}_{4}^{16}\right)}_{b} $和$ {\left({{C}}_{4}^{16}\right)}_{c} $之间的$ {D}_{\mathrm{c}\mathrm{s}} $．与文献[39]对 $ A $、$ E $、$ T $ 构型的相关性分析相比较，前者在正交性破缺的显著性上更加突出．
此外，考虑噪声影响时，特别是将TM噪声和OMS噪声进行前文所述的 $ 20\text{%} $ 的偏差扰动加入不等臂长模型中时，正交性进一步破坏也得到了证明（图5）．
$ {\left({{C}}_{4}^{16}\right)}_{a} $ 和 $ {\left({{C}}_{4}^{16}\right)}_{b} $ 之间的$ {\boldsymbol{D}}_{\mathrm{c}\mathrm{s}} $具有显著差异，其中部仅考虑呼吸模式的影响，同时对 TM噪声和OMS噪声参数进行随机化处理．
图6给出了$ \left({{C}}_{4}^{16}\right) $各灵敏度曲线的对比情况．
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图 6 $ \left({\boldsymbol{C}}_{4}^{16}\right) $各灵敏度曲线对比示意（$ {\boldsymbol{\delta }}_{\mathbf{c}}={\boldsymbol{\delta }}_{\mathbf{d}}=0.01 $）图7给出了$ {\left({C}_{4}^{16}\right)}_{{\eta }_{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{t}}} $与 TDI 1.0$ X $ 的优化效率示意．
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图 7 $ {\left({\boldsymbol{C}}_{4}^{16}\right)}_{{\boldsymbol{\eta }}_{\text{opt}}} $ 与 TDI 1.0$ \boldsymbol{X} $ 的优化效率示意1）相比于 TDI 1.0X构型，通过直接叠加 $ {\left({{C}}_{4}^{16}\right)}_{a} $、$ {\left({{C}}_{4}^{16}\right)}_{b} $ 和$ {\left({{C}}_{4}^{16}\right)}_{c} $ 构型得到的最优灵敏度曲线，在低频范围内可以实现$ \sqrt{3} $倍的灵敏度提升．
2）使用新发展的方法计算得到的灵敏度曲线，其提升效率实际较低，这说明效率提升并不如预期显著；进一步证明了不等臂长条件下构型之间的正交性破缺，从而强化了对新计算方法的需求，以更准确地反映实际的灵敏度情况．
3）类T构型$ {\left({{C}}_{4}^{16}\right)}_{c} $在几乎所有频段与$ X $构型的灵敏度曲线效果相似，但在$ {10}^{-3}\sim{10}^{-2} $ Hz频段与 $ T $ 构型存在显著差异．
总之，本研究选择 $ {{C}}_{4}^{16} $ 构型旨在更清晰地展现特定条件下正交性如何失效，这对于精确计算灵敏度曲线至关重要．这种分析不仅验证了新计算方法的必要性，而且为深入理解 TDI 在实际应用中的复杂性提供了理论基础．
4 不等臂长情形的最优灵敏度曲线研究
4.1 TDI 1.0
应用不等臂长条件的最优灵敏度曲线新计算方法，选取了TDI 1.0 构型 $ X\mathrm{、}Y $、$ Z $ 作为基底进行分析；研究了呼吸模式参数 $ {\delta }_{\mathrm{c}} $ 和 $ {\delta }_{\mathrm{d}} $ 对最优灵敏度曲线的影响．参数$ {\delta }_{\mathrm{c}} $ 和 $ {\delta }_{\mathrm{d}} $设定的选择范围为 $ \pm 0.01 $ 和 $ \pm 0.07 $这2种．图8给出了不等臂长条件下，呼吸模式参数扰动大小不同的最优灵敏度曲线．
由图8可见，它们的差异相对较小，图中加入放大部分，用以突出相关频段的灵敏度曲线．
图9给出了不等臂长条件下参数 $ {\delta }_{\mathrm{c}} $ 和 $ {\delta }_{\mathrm{d}} $ 的不同影响．由图9可见，虽然不同参数对最优灵敏度曲线造成一定扰动，但从整体上看这种扰动相对较小，最优灵敏度曲线的变化主要由不等臂长条件引起．在卫星轨道稳定性的约束下，臂长扰动程度受到限制，这导致从等臂长构型过渡到不等臂长构型最优灵敏度曲线也能保持较好的鲁棒性．
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图 9 $ {\boldsymbol{\delta }}_{\mathbf{c}} $ 与 $ {\boldsymbol{\delta }}_{\mathbf{d}} $对最优灵敏度曲线影响的对比示意4.2 TDI 2.0
与TDI 1.0 不同， TDI 2.0的计算过程中 $ {D}_{k}\ne {D}_{{k}'} $，即$ {L}_{1}\ne {L}_{2}\ne {L}_{3}\ne {L}_{{1}'}\ne {L}_{2'}\ne {L}_{{3}'} $．目前仅考虑了较为简单的模型，在计算过程中使用了TDI 2.0 构型，但并未将臂长随时间变化的因素纳入计算，即实际使用的是 TDI 1.5 的计算条件．关于更加全面的 TDI 2.0研究将在下一步展开，深入探究臂长随时间变化的情况下对最优灵敏度曲线的具体影响．
TDI 2.0 构型已得到较为深入的研究[45−46]．本文不考虑 TDI 2.0 具体构型的生成方式，仅仅随机选择了一部分已知的构型进行研究，例如TDI 2.0 构型包括 $ {{C}}_{1}^{12}， $记作$ {\left({{C}}_{1}^{12}\right)}_{1}， $及其循环对称构型$ {\left({{C}}_{1}^{12}\right)}_{\mathrm{2,3}} $．同理，$ {{C}}_{2}^{12} $ 和 $ {{C}}_{4}^{16} $ 也有类似的循环对称构型．
相对于TDI 1.0X构型， TDI 2.0 不同基底数量会对最优灵敏度曲线优化效果产生影响，基底数量为3， 4， 5．其中：基底数量为3时选择的构型组合是 $ {\left({{C}}_{4}^{16}\right)}_{\mathrm{1,2},3}； $基底数量为4时选择的构型组合是$ {\left({{C}}_{4}^{16}\right)}_{\mathrm{1,2},3}、{\left({{C}}_{1}^{12}\right)}_{1} $；基底数量为5时选择的构型组合是$ {\left({{C}}_{1}^{12}\right)}_{\mathrm{1,2},3}、{\left({{C}}_{2}^{12}\right)}_{1}、{\left({{C}}_{4}^{16}\right)}_{1} $．此外需要说明的是，TDI 1.0$ {X} $ 构型与TDI 2.0$ {X} $构型的灵敏度曲线是相同的，这是因为二者之间的差异仅在于一个时间延迟算符多项式， 例如$ {{C}}_{4}^{16} $就是一种特殊TDI 2.0$ {X} $ 构型[41]．
最优灵敏度曲线受基底数量的显著影响如图10所示．
本研究所选择的特定构型中，观察到基底数量的增加对优化效果具有正向影响，即基底数量越多，相关的最优灵敏度曲线越显著．
下面讨论TDI 2.0 构型在相同基底数量的基础上，不同基底选择对最优灵敏度曲线优化效果产生的具体影响．
对于3个基底，比较 $ {\left({C}_{1}^{12}\right)}_{\mathrm{1,2},3}、{\left({C}_{2}^{12}\right)}_{\mathrm{1,2},3} $ 和 $ {\left({{C}}_{4}^{16}\right)}_{\mathrm{1,2},3} $ 组合；对4个基底的配置，比较 $ {\left({{C}}_{1}^{12}\right)}_{\mathrm{1,2},3} $ 与 $ {\left({{C}}_{2}^{12}\right)}_{1} $、$ {\left({{C}}_{2}^{12}\right)}_{\mathrm{1,2},3} $ 与 $ {\left({{C}}_{4}^{16}\right)}_{1} $及 $ \mathrm{ }{\left({{C}}_{4}^{16}\right)}_{\mathrm{1,2},3} $ 与 $ {\left({{C}}_{1}^{12}\right)}_{1} $ 的组合；对于5个基底，分析了 $ {\left({{C}}_{4}^{16}\right)}_{\mathrm{1,2},3} $+$ {\left({{C}}_{2}^{12}\right)}_{\mathrm{1,2}} $、$ {\left({{C}}_{2}^{12}\right)}_{\mathrm{1,2},3} $+$ {\left({{C}}_{4}^{16}\right)}_{\mathrm{1,2}} $ 和 $ {\left({{C}}_{1}^{12}\right)}_{\mathrm{1,2},3} $、$ {\left({{C}}_{1}^{12}\right)}_{1} $ + $ {\left({{C}}_{1}^{12}\right)}_{\mathrm{1,2},3} $ 的组合．分别如图11~13所示，发现< $ {10}^{-3} $ Hz 频率范围内，不同基底选择的影响较小，而在 $ {10}^{-3} $~$ {10}^{-1} $ Hz 的频率范围内，影响则更为显著．
综上所述，通过将新发展的计算方法应用于TDI 2.0，并关注不等臂长条件下的场景，发现基底数量对最优灵敏度曲线有显著的影响．具体来说，当基底数量从3个增加到5个时，灵敏度曲线展现出明显的优化趋势．此外也观察到在 $ {10}^{-3} $~$ {10}^{-1} $ Hz 的频率内，不同基底的选择对灵敏度曲线的优化效果有一定的影响，表明了选择合适基底的重要性．
5 结束语
本研究提出了一种新的计算方法，用于因臂长不等导致正交性破缺的条件下可直接计算最优灵敏度曲线，从而消除了对TDI构型进行正交化的需求．具体来说，引入了呼吸模式、不同TM噪声与OMS噪声作为不等臂长条件，探讨这些因素对最优灵敏度曲线的影响，特别是参数 $ {\delta }_{\mathrm{c}} $ 和 $ {\delta }_{\mathrm{d}} $ 对系统灵敏度曲线的影响．值得强调的是，在轨道稳定性的约束下，最优灵敏度曲线在TDI 1.0 的3个基底作用下表现出良好的鲁棒性．对于不等臂长条件下TDI 2.0的情况，结果表明基底数量对最优灵敏度曲线有显著的影响．其中当基底数量从3个增加到5个时，灵敏度曲线展现出明显的优化趋势．除此之外，在 $ {10}^{-3}\sim {10}^{-1} $ Hz引力波频段内，不同基底的选择对灵敏度曲线的优化效果有一定的影响．
本研究专注于不等臂长条件下对TDI 1.0的影响，并有意忽略了旋转效应，分析了由3个基底构成的TDI 1.0代数空间．对于TDI 2.0，则采用了简化模型处理旋转效应，主要考虑了臂长的不等性．
下一步工作中，计划考虑更加真实的复杂轨道效应[47−49]，并考虑臂长随时间变化的情形下，进一步探究其对TDI 2.0最优灵敏度曲线的影响．
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图 2 TDI主要构型的灵敏度曲线对比（$ {\boldsymbol{\delta }}_{\mathbf{c}}={\boldsymbol{\delta }}_{\mathbf{d}}=0.01 $）
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图 3 最优灵敏度曲线 $ {\boldsymbol{\eta }}_{\text{opt}} $ 相对于 TDI 1.0$ \boldsymbol{X} $的优化效率示意
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图 6 $ \left({\boldsymbol{C}}_{4}^{16}\right) $各灵敏度曲线对比示意（$ {\boldsymbol{\delta }}_{\mathbf{c}}={\boldsymbol{\delta }}_{\mathbf{d}}=0.01 $）
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图 7 $ {\left({\boldsymbol{C}}_{4}^{16}\right)}_{{\boldsymbol{\eta }}_{\text{opt}}} $ 与 TDI 1.0$ \boldsymbol{X} $ 的优化效率示意
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图 9 $ {\boldsymbol{\delta }}_{\mathbf{c}} $ 与 $ {\boldsymbol{\delta }}_{\mathbf{d}} $对最优灵敏度曲线影响的对比示意
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